ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (282)

塾で小学校 3 年生に俳句を作ってもらった. 俳句を作るのは生まれて初めてらしい.

清らかに パックに並ぶ 秋たまご

群数列をやっておこう. 練習しておかないと意外と手間どることがある. お茶の水女子大の 2011 年入試問題.

【問 1
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【解】

(1)
実際に書き出してみると,

 a_1=1,  a_2=7,  a_3=11,  a_4=13,  a_5=17,  a_6=19,  a_7=23,  a_8=29,  a_9=31,  a_{10}=37

(2)
 30 で考えると,

 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

である 8 個の数字がこの順序で, 1 つのグループになって繰り返す.

 500 = 8 \cdot 62  + 4

だから, a_{500} は, 13 \pmod{30} である.

 a_4 
\\= a_{8\cdot 0 + 4} 
\\= 30 \cdot 0 + 13

 a_{12}
\\= a_{8\cdot 1 + 4} 
\\= 30 \cdot 1 + 13 = 43

 \cdots

 a_{500} 
\\= a_{8\cdot 62 + 4}
\\= 30 \cdot 62 + 13  \\
 \\=1873

である.

(3)
 1 +7+11+13+17+19+23+29
\\= 4 \cdot 30
\\= 120

したがって,

 \displaystyle{
\sum_{n = 1}^{8k} a_n
\\=\sum_{j = 1}^{k} \{120+ 30 \cdot 8(j-1)\}
\\= -120k + 120k(k+1)
\\= 120k^2}
//

2005 年の群馬大の問題.

【問 2

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【解】
 (1)
分母が同じ数字の項をひとつの群と考えればよいから, 第  n 群には  n 個の項がある. したがって, 最初から  n 群目の末尾の項は,

\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}}

番目の項である.

 n = 100 の群の末尾の項  \displaystyle{\frac{100}{100}} は, 第 5050 項で, したがって,  \displaystyle{\frac{99}{100}} は, 第 5049 項である.

(2)
\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} \leq 2005}
\displaystyle{ n(n+1) \leq 4010}

から,

  62\cdot 63 = 3906 <  4010 <  63 \cdot 64 = 4032

で, 第  62 群の末尾の項は,

 62 \cdot 63 /2 = 1953

にあたる. したがって, 第 2005 項は, 第  63 群の 52 番目なので,  \displaystyle{\frac{52}{63}} である.
//

2010 年センター試験 数学  2B

【問 (3)
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【解】
(1)

 \displaystyle{
a_n
\\ = \sum_{k = 1}^{n} (3k-2)
\\ = 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} -2n
\\= \frac{n(3n-1)}{2}
\\=\frac{3}{2}n^2 -\frac{1}{2}n}

から,  a_4 = 22

 a_n - a_{n-1} = 3n -2

 n(3n-1) \leq 1200 で,

20\cdot 59 = 1180 < 1200 < 21 \cdot 62 = 1302

なので,  600 は, 第  21 群の, 600 - 590 = 10 番目の項にあたる.

(2)
 \displaystyle{b_n = \frac{3}{2}n^2 +\frac{3}{2}n}

 \displaystyle{
\frac{1}{b_n} 
\\= \frac{2}{3}\cdot \frac{(n+1)-n}{n(n+1)}
\\=\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}

 \displaystyle{
\sum_{k =1}^{n} \frac{1}{b_k} 
\\= \frac{2}{3} \sum_{k =1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
\\= \frac{2}{3} \left(1- \frac{1}{n+1}\right)
\\= \frac{2n}{3n+3}
}
//