陥没地帯 (282) - ノリの悪い日記

塾で小学校 $3$ 年生に俳句を作ってもらった. 俳句を作るのは生まれて初めてらしい.

清らかにパックに並ぶ秋たまご

群数列をやっておこう. 練習しておかないと意外と手間どることがある. お茶の水女子大の $2011$ 年入試問題.

【問 $1$ 】
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【解】

$(1)$
実際に書き出してみると,

$a_1=1$ , $a_2=7$ , $a_3=11$ , $a_4=13$ , $a_5=17$ , $a_6=19$ , $a_7=23$ , $a_8=29$ , $a_9=31$ , $a_{10}=37$

$(2)$
法 $30$ で考えると,

$1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$

である $8$ 個の数字がこの順序で, $1$ つのグループになって繰り返す.

$500 = 8 \cdot 62 + 4$

だから, $a_{500}$ は, $13 \pmod{30}$ である.

$a_4 \\= a_{8\cdot 0 + 4} \\= 30 \cdot 0 + 13$

$a_{12} \\= a_{8\cdot 1 + 4} \\= 30 \cdot 1 + 13 = 43$

$\cdots$

$a_{500} \\= a_{8\cdot 62 + 4} \\= 30 \cdot 62 + 13 \\ \\=1873$

である.

$(3)$
$1 +7+11+13+17+19+23+29 \\= 4 \cdot 30 \\= 120$

したがって,

$\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{8k} a_n \\=\sum_{j = 1}^{k} \{120+ 30 \cdot 8(j-1)\} \\= -120k + 120k(k+1) \\= 120k^2}$
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$2005$ 年の群馬大の問題.

【問 $2$ 】

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【解】
$(1)$
分母が同じ数字の項をひとつの群と考えればよいから, 第 $n$ 群には $n$ 個の項がある. したがって, 最初から $n$ 群目の末尾の項は,

$\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}}$

番目の項である.

$n = 100$ の群の末尾の項 $\displaystyle{\frac{100}{100}}$ は, 第 $5050$ 項で, したがって, $\displaystyle{\frac{99}{100}}$ は, 第 $5049$ 項である.

$(2)$
$\displaystyle{ \frac{n(n+1)}{2} \leq 2005}$
$\displaystyle{ n(n+1) \leq 4010}$

から,

$62\cdot 63 = 3906 < 4010 < 63 \cdot 64 = 4032$

で, 第 $62$ 群の末尾の項は,

第 $62 \cdot 63 /2 = 1953$ 項

にあたる. したがって, 第 $2005$ 項は, 第 $63$ 群の $52$ 番目なので, $\displaystyle{\frac{52}{63}}$ である.
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$2010$ 年センター試験数学 $2B$

【問 $(3)$ 】
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【解】
$(1)$

$\displaystyle{ a_n \\ = \sum_{k = 1}^{n} (3k-2) \\ = 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} -2n \\= \frac{n(3n-1)}{2} \\=\frac{3}{2}n^2 -\frac{1}{2}n}$

から, $a_4 = 22$

$a_n - a_{n-1} = 3n -2$

$n(3n-1) \leq 1200$ で,

$20\cdot 59 = 1180 < 1200 < 21 \cdot 62 = 1302$

なので, $600$ は, 第 $21$ 群の, $600 - 590 = 10$ 番目の項にあたる.

$(2)$
$\displaystyle{b_n = \frac{3}{2}n^2 +\frac{3}{2}n}$

$\displaystyle{ \frac{1}{b_n} \\= \frac{2}{3}\cdot \frac{(n+1)-n}{n(n+1)} \\=\frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)}$

$\displaystyle{ \sum_{k =1}^{n} \frac{1}{b_k} \\= \frac{2}{3} \sum_{k =1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \\= \frac{2}{3} \left(1- \frac{1}{n+1}\right) \\= \frac{2n}{3n+3} }$
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