陥没地帯 (261) - ノリの悪い日記

$x^3-3x+1 = 0$ を題材に, 関連事項を確認する. まず, ヴィエトの解法として知られる $3$ 角関数を使った $3$ 次方程式の解法である. すでに, 積分の記事で扱ったが $3$ 倍角の公式は,

$\displaystyle{ \cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4} }$

であった. $x = r\cos \theta$ とおいて最初の方程式に代入してみると,

$\displaystyle{ \cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta }{r^2} -\frac{1}{r^3}}$

となるので, $r = 2$ と定めて,

$\displaystyle{ \cos 3 \theta = -\frac{1}{2}}$

である $\theta$ を $0 \leq \theta \leq \pi$ の範囲で求めると, $0 \leq 3\theta \leq 3\pi$ なので,

$\displaystyle{3\theta = \frac{2}{3}\pi,\ \frac{4}{3}\pi, \ \frac{8}{3}\pi}$

つまり,

$\displaystyle{\theta = \frac{2}{9}\pi,\ \frac{4}{9}\pi, \ \frac{8}{9}\pi}$

となる. したがって求める $x$ は,

$\displaystyle{x = 2\cos\frac{2}{9}\pi,\ 2\cos \frac{4}{9}\pi, \ 2\cos \frac{8}{9}\pi}$

である. ここで,

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array} {l} \displaystyle{ \alpha_1 = 2\cos \frac{8}{9}\pi\\ \alpha_2 = 2\cos \frac{4}{9}\pi\\ \alpha_3= 2\cos \frac{2}{9}\pi\\ } \end{array} \right. }$

とし, $g(x) = x^2-2$ とすると,

$\begin{eqnarray} \alpha_2 &=& 2\cos \frac{4}{9}\pi \\&=& 2 \left(2\cos^2 \frac{2}{9}\pi -1 \right) \\&=& \alpha_3^2 -2 \\&=& g(\alpha_3) \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \alpha_1 &=& 2\cos \frac{8}{9}\pi \\ &=& 2\left(2\cos^2 \frac{4}{9}\pi -1\right) \\&=& \alpha_2^2 -2 \\&=& g(\alpha_2) \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \alpha_3 &=& 2\cos \frac{2}{9}\pi \\ &=&2\cos 2\left(\pi-\frac{8}{9}\pi \right) \\ &=& 2\left\{2\cos^2\left(\pi-\frac{8}{9}\pi\right)-1\right\} \\&=& 2\left(2\cos^2 \frac{8}{9}\pi-1 \right) \\&=& \alpha_1^2 -2 \\&=& g(\alpha_1) \end{eqnarray}$

となって, 前の記事の問 $(3)$ の別解となる.

※
記事 $(259)$ の恒等式は, 複素数の範囲で, 次のようにすべて $1$ 次式にまで分解できる.

$x^3 + y^3 + z^3 -3xyz \\=(x+y+z) \\ \quad \times (x^2+ y^2 + z^2 -xy-yz-zx) \\=(x+y+z)(x+\omega y + \omega^2z) \\ \quad \times (x+ \omega^2y + \omega z)$

ここで, $1$ の $3$ 乗根 $\omega$ ( $\omega \neq 1$ ) を

$\displaystyle{\omega= e^{\frac{2\pi}{3}i} }$

と定めることにする.

これを利用して, $x^3 -3x+ 1 = 0$ を解くには, 上式で, $x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = 0$ を $x$ の方程式とみて,

$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} y^3 + z^3 = 1\\ yz = 1\\ \end{array} \right.}$

をみたすとよい. $yz= 1$ を $y^3z^3 =1$ とみて, $y^3$ , $z^3$ は

$t^2 -t + 1 = 0$

をみたす. この解は,

$\displaystyle{t= e^{\pm\frac{\pi}{3}i}}$

であるが,

$\displaystyle{ \omega^2 = e^{\frac{4\pi}{3}i} = -e^{\frac{\pi}{3}i}}$

なので,

$t = -\omega^2, -\overline{\omega}^2$

であり, $y^3 = -\omega^2$ , $z^3 = -\overline{\omega}^2$ として, ひとつの解を

$\displaystyle{y = -e^{\frac{4\pi}{9}i}}$
$\displaystyle{z = -e^{-\frac{4\pi}{9}i}}$

のようにとる. 恒等式から,

$x+y+z = 0$

または,

$x+\omega y + \omega^2z =0$

または,

$x+ \omega^2y + \omega z = 0$

だから, $x$ は, それぞれ,

$\displaystyle{-y -z \\= 2\cos \frac{4}{9}\pi}$

$\displaystyle{-\omega y - \omega^2 z \\ = e^{\frac{2\pi}{3}i} \cdot e^{\frac{4\pi}{9}i} + e^{\frac{4\pi}{3}i} \cdot e^{-\frac{4\pi}{9}i} \\= e^{-\frac{8\pi}{9}i} + e^{\frac{8\pi}{9}i} \\= 2\cos \frac{8}{9}\pi}$

$\displaystyle{-\omega^2 y - \omega z \\ = e^{\frac{4\pi}{3}i} \cdot e^{\frac{4\pi}{9}i} + e^{\frac{2\pi}{3}i} \cdot e^{-\frac{4\pi}{9}i} \\= e^{-\frac{2\pi}{9}i} + e^{\frac{2\pi}{9}i} \\= 2\cos \frac{2}{9}\pi}$

となって,

$\displaystyle{x = 2\cos \frac{2}{9}\pi}$ , $\displaystyle{2\cos \frac{4}{9}\pi}$ , $\displaystyle{2\cos \frac{8}{9}\pi}$

と求まった.
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※ $x^3 + y^3 + z^3 -3xyz$ の因数分解には様々な方法がある. 行列式を使うのは簡便である.

$\displaystyle{ \begin{vmatrix} x&y&z \\ z&x&y\\ y&z&x\\ \end{vmatrix} \\= (x+y+z) \begin{vmatrix} 1&1&1\\ z&x&y\\ y&z&x\\ \end{vmatrix} }$

$\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1&1&1\\ z&x&y\\ y&z&x\\ \end{vmatrix} \\= \begin{vmatrix} 1+\omega + \omega^2&1&1\\ z + \omega x + \omega^2 y &x&y\\ y+ \omega z + \omega^2 x&z&x\\ \end{vmatrix} \\=\begin{vmatrix} 0&1&1\\ \omega(x+ \omega y + \omega^2 z)&x&y\\ \omega^2 (x + \omega y+ \omega^2 z )&z&x\\ \end{vmatrix} \\=(x+ \omega y + \omega^2 z) \begin{vmatrix} 0&1&1\\ \omega&x&y\\ \omega^2 &z&x\\ \end{vmatrix} \\=(x+ \omega y + \omega^2 z) \\ \quad \times \{-(\omega^2 + \omega) x + \omega^2 y + \omega z\} \\= (x+ \omega y + \omega^2 z) (x + \omega^2 y + \omega z) }$
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