ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (261)

 x^3-3x+1 = 0 を題材に, 関連事項を確認する. まず, ヴィエトの解法として知られる 3 角関数を使った 3 次方程式の解法である. すでに, 積分の記事で扱ったが  3 倍角の公式は,

 \displaystyle{
\cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4}
}

であった.  x = r\cos \theta とおいて最初の方程式に代入してみると,

 \displaystyle{
\cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta }{r^2} -\frac{1}{r^3}}

となるので,  r = 2 と定めて,

 \displaystyle{
\cos 3 \theta = -\frac{1}{2}}

である  \theta 0 \leq \theta \leq \pi の範囲で求めると,  0 \leq 3\theta \leq 3\pi なので,

 \displaystyle{3\theta = \frac{2}{3}\pi,\  \frac{4}{3}\pi, \ \frac{8}{3}\pi}

つまり,

 \displaystyle{\theta = \frac{2}{9}\pi,\  \frac{4}{9}\pi, \ \frac{8}{9}\pi}

となる. したがって求める  x は,

 \displaystyle{x = 2\cos\frac{2}{9}\pi,\  2\cos \frac{4}{9}\pi, \ 2\cos \frac{8}{9}\pi}

である. ここで,

  \displaystyle{
\left\{
\begin{array} {l}
\displaystyle{
\alpha_1 = 2\cos \frac{8}{9}\pi\\
\alpha_2 = 2\cos \frac{4}{9}\pi\\
\alpha_3= 2\cos \frac{2}{9}\pi\\
}
\end{array}
\right.
}

とし,  g(x) = x^2-2 とすると,

  \begin{eqnarray}
\alpha_2 
&=& 2\cos \frac{4}{9}\pi
\\&=& 2 \left(2\cos^2 \frac{2}{9}\pi -1 \right)
\\&=& \alpha_3^2 -2
\\&=& g(\alpha_3)
\end{eqnarray}

  \begin{eqnarray}
\alpha_1 &=& 2\cos \frac{8}{9}\pi \\
&=& 2\left(2\cos^2 \frac{4}{9}\pi -1\right)
\\&=& \alpha_2^2 -2
\\&=& g(\alpha_2)
\end{eqnarray}

  \begin{eqnarray}
\alpha_3
&=& 2\cos \frac{2}{9}\pi
\\ &=&2\cos 2\left(\pi-\frac{8}{9}\pi \right)
\\ &=& 2\left\{2\cos^2\left(\pi-\frac{8}{9}\pi\right)-1\right\}
\\&=& 2\left(2\cos^2 \frac{8}{9}\pi-1 \right)
\\&=& \alpha_1^2 -2
\\&=& g(\alpha_1)
\end{eqnarray}

となって, 前の記事の問 (3) の別解となる.


記事 (259) の恒等式は, 複素数の範囲で, 次のようにすべて 1 次式にまで分解できる.

 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz
\\=(x+y+z)
\\ \quad 
\times (x^2+ y^2 + z^2 -xy-yz-zx)
\\=(x+y+z)(x+\omega y + \omega^2z)
\\ \quad \times (x+ \omega^2y + \omega z)

ここで,  13 乗根  \omega ( \omega \neq 1) を

 \displaystyle{\omega=  e^{\frac{2\pi}{3}i} }

と定めることにする.

これを利用して,  x^3 -3x+ 1 = 0 を解くには, 上式で,  x^3 + y^3 + z^3 -3xyz = 0 x の方程式とみて,

 \displaystyle{
\left\{
\begin{array}{l}
y^3 + z^3 = 1\\
yz = 1\\
\end{array}
\right.}

をみたすとよい.  yz= 1 y^3z^3 =1 とみて,  y^3 ,  z^3

 t^2 -t + 1 = 0

をみたす. この解は,

 \displaystyle{t= e^{\pm\frac{\pi}{3}i}}

であるが,

\displaystyle{ \omega^2 = e^{\frac{4\pi}{3}i} 
= -e^{\frac{\pi}{3}i}}

なので,

 t = -\omega^2, -\overline{\omega}^2

であり,  y^3 = -\omega^2,  z^3 = -\overline{\omega}^2 として, ひとつの解を

 \displaystyle{y = -e^{\frac{4\pi}{9}i}}
 \displaystyle{z = -e^{-\frac{4\pi}{9}i}}

のようにとる. 恒等式から,

 x+y+z = 0

または,

 x+\omega y + \omega^2z =0

または,

 x+ \omega^2y + \omega z = 0

だから,  x は, それぞれ,

 \displaystyle{-y -z 
\\= 2\cos \frac{4}{9}\pi}

 \displaystyle{-\omega y - \omega^2 z 
\\ = e^{\frac{2\pi}{3}i} \cdot e^{\frac{4\pi}{9}i} + e^{\frac{4\pi}{3}i} \cdot e^{-\frac{4\pi}{9}i}
\\= e^{-\frac{8\pi}{9}i} + e^{\frac{8\pi}{9}i}
\\= 2\cos \frac{8}{9}\pi}

 \displaystyle{-\omega^2 y - \omega z 
\\ = e^{\frac{4\pi}{3}i} \cdot e^{\frac{4\pi}{9}i} + e^{\frac{2\pi}{3}i} \cdot e^{-\frac{4\pi}{9}i}
\\= e^{-\frac{2\pi}{9}i} + e^{\frac{2\pi}{9}i}
\\= 2\cos \frac{2}{9}\pi}

となって,

 \displaystyle{x = 2\cos \frac{2}{9}\pi}, \displaystyle{2\cos \frac{4}{9}\pi}, \displaystyle{2\cos \frac{8}{9}\pi}

と求まった.
//

 x^3 + y^3 + z^3 -3xyz の因数分解には様々な方法がある. 行列式を使うのは簡便である.

 \displaystyle{
\begin{vmatrix}
x&y&z \\
z&x&y\\
y&z&x\\
\end{vmatrix}
\\= (x+y+z)
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
z&x&y\\
y&z&x\\
\end{vmatrix}
}


 \displaystyle{
\begin{vmatrix}
1&1&1\\
z&x&y\\
y&z&x\\
\end{vmatrix}
\\=
\begin{vmatrix}
1+\omega + \omega^2&1&1\\
z + \omega x + \omega^2 y &x&y\\
y+ \omega z + \omega^2 x&z&x\\
\end{vmatrix}
\\=\begin{vmatrix}
0&1&1\\
\omega(x+ \omega y + \omega^2 z)&x&y\\
\omega^2 (x +  \omega y+ \omega^2 z )&z&x\\
\end{vmatrix}
\\=(x+ \omega y + \omega^2 z)
\begin{vmatrix}
0&1&1\\
\omega&x&y\\
\omega^2 &z&x\\
\end{vmatrix}
\\=(x+ \omega y + \omega^2 z)
\\ \quad  \times \{-(\omega^2 + \omega) x + \omega^2 y + \omega z\}
\\= (x+ \omega y + \omega^2 z) (x + \omega^2 y + \omega z)
}
//