ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (171)

高校数学

最後にもう一題.

【問】
$2$ 次方程式 $x^2 - 2ax + a+2=0$ が次の条件を満たすような定数 $a$ の範囲を求めよ.

(1) 異なる $2$ つの実数解のうち, ただ $1$ つが $-2 \lt x \lt 2$ にある.

(2) 異なる $2$ つの実数解のうち, ただ $1$ つが $-2 \leq x \leq 2$ にある.

(3) $-2 \lt x \lt 2$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ.

(4) $-2 \leq x \leq 2$ に少なくとも $1$ つの実数解をもつ.

【解】
$(x-a)^2 -a^2 + a+2=0$

まず、左辺の式をグラフと見て $x$ 軸方向に $-a$ 平行移動して

$f(x) = x^2 - a^2 + a + 2$

とおく.

(1) 区間は $(-2-a, \ 2-a)$ になる.

$f(-2-a) = 5a + 6$
$f(2-a) = -3a + 6$

$f(-2-a) f(2-a) \lt 0$ から

$(5a+6)(3a-6) \gt 0$

したがって

$\displaystyle{a \lt -\frac{6}{5}, \ a \gt 2}$

$f(-2-a) = 0$ のときは $\displaystyle{a = -\frac{6}{5}}$ で解は $\displaystyle{ \pm{\frac{4}{5}}}$ だが*1, 区間は $\displaystyle{\left(-\frac{4}{5}, \ \frac{16}{5}\right)}$ なのでただひとつの解をもつ.

$f(2-a) = 0$ のときは $a = 2$ で解は $0$ で重解だし, 区間は $(-4, 0)$ なので解は含まれない.

以上より,

$\displaystyle{a \leq -\frac{6}{5}, \ a \gt 2}$

(2) 上との違いは, $f(-2-a) = 0$ のときは $\displaystyle{a = -\frac{6}{5}}$ で解は $\displaystyle{ \pm{\frac{4}{5}}}$ だが、区間は $\displaystyle{\left [-\frac{4}{5}, \frac{16}{5}\right]}$ なので解が二つとも区間に含まれてしまい適さない.

$\displaystyle{a \lt -\frac{6}{5}, a \gt 2}$

(3) まず実数解を取る条件は,

$a^2 -a-2 =(a-2)(a+1) \geq 0$

から, $a \leq -1, \ a \geq 2$ である.

$f(-2-a) \gt 0$ または $f(2-a) \gt 0$ は, 実数全体で満足する.

補集合となる部分を調べると, $-2-a \geq 0$ かつ $f(-2-a) \geq 0$ は, 空集合で, $2-a \leq 0$ かつ $f(2-a) \geq 0$ は, $a =2$ である.

以上から, 求める条件は,

$a \leq -1, \ a \gt 2$

となる.

(4)
$f(-2-a) \geq 0$ または $f(2-a) \geq 0$ は, 実数全体で満足する.

補集合となる部分を調べると, $-2-a \geq 0$ かつ $f(-2-a) \gt 0$ は, 空集合で, $2-a \leq 0$ かつ $f(2-a) \gt 0$ も空集合である.

以上から, 求める条件は,

$a \leq -1, \ a \geq 2$

となる.

*1:端点に解をもつ場合のチェックにいちいち二次方程式を解かなくてもよい.