ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (170)

高校数学

前回の記事でやり方がわかったので次の問題も解いてみる.

【問】
方程式 $3x^2+(a+6)x -a+3= 0$ の $2$ つの実数解のうち, 少なくとも $1$ つが $-2 \lt x \lt 0$ の範囲にあるような定数 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ.

【解】

$6b = a + 6$ とおく. そうすると方程式は,

$x^2 + 2bx + 3-2b \\ = (x+ b)^2 - b^2-2b+3 \\ =0$

グラフを $x$ 軸に沿って $b$ 移動し,

$f(x) = x^2 -b^2-2b+3$ とおいて,

範囲は $-2+b \lt x \lt b$ を考える.

$f(-2+b) = -6b +7$
$f(b) = -2b +3$

である. また, 実数解をもつ条件は,

$b \leq -3$ または $b \geq 1$

となる。

前回の記事でやったように,

$f(-2+b) \gt 0$ または $f(b) \gt 0$

を考えると $\displaystyle{b \lt \frac{3}{2}}$ であるが, この問題では解をひとつも持たない次の条件もチェックする必要がある.

$1)$ $b \leq 0$ かつ $f(b) \geq 0$
$2)$ $-2+b \geq 0$ かつ $f(-2+b) \geq 0$

すると $2)$ は空集合だが $1)$ は $b \leq 0$ である. この領域を除くと

$\displaystyle{0 \lt b \lt \frac{3}{2}}$

実数解をもつ条件を考慮して,

$\displaystyle{1 \leq b \lt \frac{3}{2}}$

これから

$0 \leq a \lt 3$

である.//