ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (169)

高校数学

前回のやり方でもう一題やってみよう.

【問】
$x^2+ax+a^2-3 = 0$ が $\displaystyle{-1 \leq x \leq \frac{3}{2}}$ の範囲に少なくとも一つの実数解を持つような実数 $a$ の条件を求めよ.

【解】
$a = 2b$ とおく. すると,

$x^2+2bx+4b^2-3 = 0$
$(x+b)^2+3b^2-3 = 0$

$x$ 軸方向に $b$ 移動させて

$x^2+3b^2-3 = 0$

$f(x) = x^2+3b^2-3$

とおいておく. 考える範囲は

$\displaystyle{-1 + b \leq x \leq \frac{3}{2} + b}$

に変わる.

$f(0) \leq 0$ から,

$-1 \leq b \leq 1 \tag{1}$

であるが, そうすると

$-2 \leq -1 + b \leq 0$
$\displaystyle{\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2} + b \leq \frac{5}{2}}$

だから, 実数解をもつ場合、

$f(-1+ b) \geq 0$ かつ $\displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}$

の条件は必ず範囲に解をもつ. 解を持たないのは,

$f(-1+ b) \lt 0$ かつ $\displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \lt 0}$

のときだけなので, 否定をとって

$f(-1+ b) \geq 0$ または $\displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}$

を調べればよい.

実際に計算すると,

$f(-1+ b) \geq 0$
$(-1+ b)^2 + 3b^2-3 \geq 0$
$2b^2-b-1 \geq 0$
$(2b+1)(b-1) \geq 0$

したがって $(1)$ との共通分は,

$\displaystyle{b =1, \ -1 \leq b \leq -\frac{1}{2} \tag{2}}$

また,

$\displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}$
$\displaystyle{\left (\frac{3}{2} + b \right)^2 + 3b^2 -3 \geq 0}$
$\displaystyle{4b^2 + 3b - \frac{3}{4} \geq 0}$
$\displaystyle{\left (b - \frac{-3+\sqrt{21}}{8}\right) \left (b - \frac{-3-\sqrt{21}}{8}\right) \geq 0}$

したがって $(1)$ との共通分は,

$\displaystyle{\frac{-3+\sqrt{21}}{8} \leq b \leq 1} \tag{3}$

以上より, $(2)$ , $(3)$ の合併は,

$\displaystyle{-1 \leq b \leq -\frac{1}{2}}$

または,

$\displaystyle{ \frac{-3+\sqrt{21}}{8} \leq b \leq 1}$

で, これを $a$ であらわせば,

$- 2 \leq a \leq -1$

または,

$\displaystyle{ \frac{-3+\sqrt{21}}{4} \leq a \leq 2}$

である.//