ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (169)

前回のやり方でもう一題やってみよう。

【問】
 x^2+ax+a^2-3 = 0 \displaystyle{-1 \leq x \leq \frac{3}{2}} の範囲に少なくとも一つの実数解を持つような実数  a の条件を求めよ。

【解】
 a = 2b とおく。すると、

 x^2+2bx+4b^2-3 = 0
 (x+b)^2+3b^2-3 = 0

 x 軸方向に  b 移動させて

 x^2+3b^2-3 = 0

 f(x) = x^2+3b^2-3

とおいておく。考える範囲は

 \displaystyle{-1 + b \leq x \leq \frac{3}{2} + b}

に変わる。

 f(0) \leq 0 から、

 -1 \leq b \leq 1 \tag{1}

であるが、そうすると

 -2 \leq -1 + b \leq 0
 \displaystyle{\frac{1}{2} \leq \frac{3}{2} + b \leq \frac{5}{2}}

だから、実数解をもつ場合、

 f(-1+ b) \geq 0 かつ   \displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}

の条件は必ず範囲に解をもつ。解を持たないのは、

 f(-1+ b) \lt 0 かつ   \displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \lt 0}

のときだけなので、否定をとって

 f(-1+ b) \geq 0 または   \displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}

を調べればよい。

実際に計算すると、

 f(-1+ b) \geq 0
 (-1+ b)^2 + 3b^2-3 \geq 0
 2b^2-b-1 \geq 0
 (2b+1)(b-1)  \geq 0

したがって  (1) との共通分は、

 \displaystyle{b =1, \ -1 \leq b \leq -\frac{1}{2} \tag{2}}

また、

  \displaystyle{f \left (\frac{3}{2} + b \right) \geq 0}
 \displaystyle{\left (\frac{3}{2} + b \right)^2 + 3b^2 -3 \geq 0}
 \displaystyle{4b^2 + 3b - \frac{3}{4} \geq 0}
 \displaystyle{\left (b - \frac{-3+\sqrt{21}}{8}\right) \left (b - \frac{-3-\sqrt{21}}{8}\right) \geq 0}

したがって  (1) との共通分は、

 \displaystyle{\frac{-3+\sqrt{21}}{8} \leq b \leq 1} \tag{3}

以上より、  (2), (3) の合併は、

 \displaystyle{-1 \leq b \leq  -\frac{1}{2}}

または、

 \displaystyle{ \frac{-3+\sqrt{21}}{8} \leq b \leq  1}

で、これを  a であらわせば、

 - 2 \leq a \leq  -1

または、

\displaystyle{  \frac{-3+\sqrt{21}}{4} \leq a \leq  2}

である。//