陥没地帯 (158) - ノリの悪い日記

単なるメモ。フーリエ変換の式が必要になったけれど、忘れたのでフーリエ級数から計算した。

周期 $2\pi$ の関数 $f(x)$ が区間 $[-\pi, \pi]$ で定義されていれば、

$\displaystyle{f(x) \\ = \frac{a_0}{2} + \sum_{n =1}^{\infty}(a_n\cos nx + b_n \sin nx)}$
$\displaystyle{= \frac{a_0}{2} + \\ \sum_{n =1}^{\infty}\left(a_n \frac{e^{inx}+e^{-inx}}{2} +b_n \frac{e^{inx}-e^{-inx}}{2i} \right)}$
$\displaystyle{= \frac{a_0}{2} + \\\sum_{n =1}^{\infty}\left(\frac{a_n- i b_n}{2} e^{inx}+\frac{a_n + i b_n}{2}e^{-inx} \right)}$
$\displaystyle{= c_0 + \sum_{n =1}^{\infty}(c_n e^{inx}+c_{-n} e^{-inx} )}$
$\displaystyle{= \sum_{n =-\infty}^{\infty}c_n e^{inx}}$

ここで、

$\displaystyle{c_0 = \frac{a_0}{2}}$
$\displaystyle{c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} \ (n \neq 0)}$

とし、

$\displaystyle{c_{-n} = \frac{a_{-n} - i b_{-n}}{2} }$

だが、

$a_{-n} =a_n, \ b_{-n}= -b_n$

である。

フーリエ成分は、

$\displaystyle{\begin{align} c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)(\cos nx -i \sin nx)dx \\ &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx \end{align}}$

でよい。

関数 $f(x)$ の定義区間を $[-L, L]$ に変更すると、 $\displaystyle{z = \frac{\pi x}{L}}$ とすれば $-\pi \leq z \leq \pi$ だから、

$\displaystyle{\begin{align} c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\left(\frac{Lz}{\pi}\right)e^{-inz}dz \\ &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)e^{-i\frac{n\pi x}{L}}dx \end{align}}$