ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (156)

花

コブシ。
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カタクリ。
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イカリソウ。種類はトキワイカリソウ？
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シュンラン。
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キブシ。
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レンギョウ。
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新高校生の予習で因数分解とかやっていて、対称式とか交代式とかの性質を知っていると楽なことがある。特に交代式の場合には楽になることが多い。たとえば、

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

は、交代式である。ということは、 $a-b, \ b-c, \ c-a$ を因数に持つことは因数定理 (剰余定理) からすぐに証明できる。項の次数はどれも三だから因数は他にない。したがって、

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)\\ = K(a-b)(b-c)(c-a)$

これから、 $K = -1$ である。

同じような問題として

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$

で、これも対称式だから因数として

$(a-b)(b-c)(c-a)$

を因数に持つ。項はみな四次だから、残りの因数は一次式であり、しかもその一次式は対称式でなければならない。したがって、

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) \\ = K(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

で、たとえば $a^3b$ の係数を比較して $K = 1$ である。

他の例題として、

$(a-b)^3+ (b-c)^3+ (c-a)^3 \\ = K(a-b)(b-c)(c-a)$

から $K = 3$ (たとえば $a^2b$ の係数を比較する)。

$ab(a-b) + bc(b-c) +ca(c-a)\\ = K(a-b)(b-c)(c-a)$

から $K = -1$ 。

$a(b^2-c^2) + b(c^2-a^2) +c(a^2-b^2)\\ = K(a-b)(b-c)(c-a)$

から、 $K = 1$ 。

対称式はもう少し複雑で、書こうと思ったけれど眠いのでやめる。