陥没地帯 (137) - ノリの悪い日記

フキノトウ。

サンシュユ。

交流のところだと、まず、ケーブル (伝送路) を含む、一般の電気回路の入出力信号間で、正弦波の周波数はなぜ不変に保たれ、振幅と位相の変化だけを考えれば良いかということが基本中の基本である。

それは、システムが「線形時不変」、つまり入出力間で、

1) 線形性

$\mathscr{L}[c_1 f_1(t) + c_2 f_2(t)] \\ = c_1 \mathscr{L}[f_1(t)]+ c_2 \mathscr{L}[f_2(t)]$

2) 時不変性

$\mathscr{L}[f(t-\tau)] = g(t-\tau)$

という条件を満たすと仮定しているからである。

ここで、入力である複素正弦波 $e^{j\omega t}$ の出力を $y(t)$ とすれば、時不変性より、

$\mathscr{L}[e^{j\omega (t + h)}] = y(t + h)$

線形性より、

$\mathscr{L}[e^{j\omega (t + h)}] = \mathscr{L}[e^{j\omega t} e^{j \omega h}] = e^{j \omega h}y(t)$

となるので、

$y(t + h) = e^{j \omega h}y(t)$

となる。これから、

$y(t + h) - y(t) = e^{j \omega h}y(t) -y(t)$

となるので、

$\displaystyle{\frac{y(t + h) - y(t) }{h}= \frac{e^{j \omega h} -1}{h}y(t)}$

となるが、この極限をとると、

$\displaystyle{ \lim_{h \to 0} \frac{y(t + h) - y(t) }{h}= \lim_{h \to 0} \frac{e^{j \omega h} -1}{h}y(t)}$

となる。したがって、

$\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}y(t) }{\mathrm{d} t}= j\omega y(t)}$

となるので、この微分方程式を解けば、

$y(t) = C(\omega)e^{j\omega t}$

となる。演算子法的にいえば、複素正弦関数は固有関数になるということである。

※ 虚数単位は工学的に $j$ で表した。