陥没地帯 (103) - ノリの悪い日記

前の記事までで、速度図の関係、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{v} = \mathbf{h} + \frac{K}{L}\mathbf{e_\theta} \end{align}}$

が得られたので、後は、 $L=mr^2\dot{\theta}$ に注意して、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{v} \cdot \mathbf{e_\theta}= r\dot{\theta} = \frac{L}{mr}\end{align}}$
$\mathbf{h} \cdot \mathbf{e_\theta}= h\cos \theta$

から、

$\displaystyle{\begin{align} \frac{L}{mr} = h\cos \theta + \frac{K}{L} \end{align}}$

が得られ、これを $r$ について整理すると、

$\displaystyle{r = \frac{\frac{L^2}{mK}}{1 + \frac{Lh}{K}\cos \theta}}$

となって、

$\displaystyle{\begin{align}l &= \frac{L^2}{mK}\\ e &= \frac{Lh}{K}\end{align}}$

とおけば、 $e$ の値によって楕円、放物線、双曲線を与えるお馴染みの極方程式

$\displaystyle{r = \frac{l}{1 + e\cos \theta}}$

が得られた。離心率 $e$ は

$\displaystyle{e = \frac{h}{K/L}}$

で $\displaystyle{\frac{K}{L}}$ は速度円の半径だから、話しはあっている。

さらに、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{h}\cdot\mathbf{h} &= v^2 + \left(\frac{K}{L}\right)^2 - 2 \frac{K}{L} \mathbf{v} \cdot \mathbf{e_\theta} \\&= v^2 + \left(\frac{K}{L}\right)^2 - 2 \frac{K}{mr} \end{align}}$

であるが、両辺に $\displaystyle{ \frac{m}{2}}$ をかけて整理すると、

$\displaystyle{\begin{align}E &= \frac{1}{2}mv^2 - \frac{K}{r}\\ &= \frac{m}{2}\left(h^2 - \left(\frac{K}{L}\right)^2\right)\\ &= \frac{mK^2}{2L^2}(e^2 -1)\end{align}}$

となって、離心率に対応する力学的エネルギーもわかる。

ついでに、ケプラーの第三法則もやっておくと、近日点の速さ $v_p$ は、

$\displaystyle{v_p = (1+e)\frac{K}{L}}$

だから、太陽から近日点までの距離を $r_p$ とすれば、面積速度一定から、

$\displaystyle{r_pv_p = \frac{L}{m}}$

なので、

$\displaystyle{\begin{align} r_p = \frac{L^2}{mK (1+e)}\end{align}}$

遠日点の速さ $v_a$ は、

$\displaystyle{\begin{align} v_a = (1-e)\frac{K}{L} \end{align}}$

だから、同様にして遠日点までの距離 $r_a$ は、

$\displaystyle{r_a = \frac{L^2}{mK (1-e)}}$

となる。軌道の長軸半径を $a$ とすれば、 $r_p + r_a = 2a$ だから、

$\displaystyle{\frac{L^2}{mK}(\frac{1}{1-e} + \frac{1}{1+e} ) = 2a}$

となり、これから

$\displaystyle{L = \sqrt{(1-e^2)mKa}}$

であることがわかる。*1

短軸半径は $\displaystyle{a\sqrt{1-e^2}}$ で与えられるので、軌道全体の面積は、

$\displaystyle{\pi a^2\sqrt{1 - e^2}}$

だから、周期 $T$ は第二法則より、

$\displaystyle{\begin{align} T &= \frac{ \pi a^2\sqrt{1 - e^2}}{\frac{L}{2m}}\\ &= 2 \pi \sqrt {\frac{a^3m}{K}}\\ &= 2 \pi \sqrt {\frac{a^3}{GM}}\end{align}}$

となる。

*1: $\displaystyle{2a = -\frac{K}{E}}$ であることもすぐに確認できる。