この前のケプラーの法則を高校物理とは関係なくまとめておこう。
運動方程式は単純で、
だが とおいて、
にしておく。 は動径方向の単位ベクトルで、
である。ケプラーの第二法則と同じ意味である角運動量が保存することが重要で、定数である角運動量の大きさ
から、
である ( とする)。
軌道の接線方向の単位ベクトルを として、
と
を静止直交座標系の
と
であらわすと、
となるが、
という関係がある。運動方程式、
で
としてから、先程の関係を使って を
におきかえると、
というさらに簡潔な式になる。この式は、
が時間変化しない定ベクトル (保存ベクトル*1 ) だということだから、この定ベクトルを とおけば、
となり、前の記事のホドグラフが円になる関係が得られた。
眠いので、この続きは次の記事にまわすことにした (『見るレッスン』も読みたいし……)。
*1:ケプラー問題では、Laplace-Runge-Lenz ベクトルと呼ばれる という保存ベクトルが存在することが知られているが、これと
は
の関係にあることがわかる。