陥没地帯 (102) - ノリの悪い日記

この前のケプラーの法則を高校物理とは関係なくまとめておこう。

運動方程式は単純で、

$\displaystyle{\begin{align}m\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = - \frac{GMm}{r^2}\mathbf{e}_r\end{align}}$

だが $GMm = K$ とおいて、

$\displaystyle{\begin{align}m\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = - \frac{K}{r^2}\mathbf{e}_r\end{align}}$

にしておく。 $\mathbf{e}_r$ は動径方向の単位ベクトルで、 $\mathbf{r} = r\mathbf{e}_r$ である。ケプラーの第二法則と同じ意味である角運動量が保存することが重要で、定数である角運動量の大きさ $L = mr^2\dot{\theta}$ から、

$\displaystyle{\begin{align}\dot{\theta} = \frac{L}{mr^2}\end{align}}$

である ( $L \neq 0$ とする)。

軌道の接線方向の単位ベクトルを $\mathbf{e}_\theta$ として、 $\mathbf{e}_r$ と $\mathbf{e}_\theta$ を静止直交座標系の $\mathbf{e}_x$ と $\mathbf{e}_y$ であらわすと、

$\mathbf{e}_r = \cos \theta \mathbf{e}_x + \sin \theta \mathbf{e}_y$
$\mathbf{e}_\theta = - \sin \theta \mathbf{e}_x + \cos \theta \mathbf{e}_y$

となるが、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{\dot{e}}_\theta &= - (\cos \theta \mathbf{e}_x+ \sin \theta \mathbf{e}_y)\dot{\theta}\\ &= -\dot{\theta} \mathbf{e}_r\\ &= - \frac{L}{mr^2} \mathbf{e}_r\end{align}}$

という関係がある。運動方程式、

$\displaystyle{\begin{align}m\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2} = - \frac{K}{r^2}\mathbf{e}_r\end{align}}$

で

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{\dot{v}} =\frac{d^2 \mathbf{r}}{dt^2}\end{align}}$

としてから、先程の関係を使って $\mathbf{e}_r$ を $\mathbf{\dot{e}}_\theta$ におきかえると、

$\displaystyle{\begin{align} \mathbf{\dot{v}}= \frac{K}{L} \mathbf{\dot{e}}_\theta\end{align}}$

というさらに簡潔な式になる。この式は、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{v} - \frac{K}{L}\mathbf{e}_\theta\end{align}}$

が時間変化しない定ベクトル (保存ベクトル*1 ) だということだから、この定ベクトルを $\mathbf{h}$ とおけば、

$\displaystyle{\begin{align}\mathbf{v} = \mathbf{h} + \frac{K}{L}\mathbf{e}_\theta\end{align}}$

となり、前の記事のホドグラフが円になる関係が得られた。

眠いので、この続きは次の記事にまわすことにした (『見るレッスン』も読みたいし……)。

*1:ケプラー問題では、Laplace-Runge-Lenz ベクトルと呼ばれる　 $\mathbf{A} = \mathbf{p} \times \mathbf{L} - mK\mathbf{e}_r$ という保存ベクトルが存在することが知られているが、これと $\mathbf{h}$ は $\mathbf{A} = m\mathbf{h}\times \mathbf{L}$ の関係にあることがわかる。