前の記事に引き続いて空間図形の問題をやってみた. いつも思うのだが, 神奈川県の空間図形の問題は例年つまらないものが多い. この問題も, 平面図形の中線定理を適用するだけである. なお, 中線定理は「平行四辺形の 辺の平方和は, 対角線の平方和に等しい」…

今日は神奈川公立高校入試だったが, 問題がもう公開されていた. 数学の次の問題は, 以前紹介した 2019 年の問題と同様に面積比を使って長さの比を求めれば容易に解ける.【解】 台形 の面積を単位量にとって (倍) とする.まず,は, と相似からすぐにわかる.次…

神奈川県公立高校入試の特色検査の問題を見ると, 判断推理の問題が出ている。この種の問題は, 1) 条件整理 2) 仮定による場合分け 3) 各場合の仮定について条件に矛盾するものを落とす, といった抹殺作業で解けるものがほとんどだが, 多少の慣れは必要である…

神奈川県の去年の公立高校入試問題である。【解】 だから,ところで, と は相似である (下図). ピタゴラスの定理によりだから, これとより, したがって, //【別解】下の図のように, から に垂線を下ろしその足を とする. と は相似 である. と は相似であり, …

高校入試問題を見ていたらダニエル電池に関する問題が出ていて、その問題自体は興味をそそられるものではなかったが、不図、ダニエル電池の起電力を計算しようと思ったら熱力学を忘れている。以下は単なる忘備録である。異種金属を接触させると一方がすぐに…

午後過ぎ迄用事があったし、少し時雨てもいたので近くを散歩することにし、町田駅から境川沿いを上流に向けて歩いて古淵の鵜野森公園にある露頭を見に行った (相模野面)。横浜線は凡庸だなあと思っていたが、境川と並行して走っているのを見るとなかなか良い…

この前散歩に行ったときに、相模川右岸の中津原面の方から相模野台地が河岸段丘だとわかる写真を撮った。この前見つけた貝の化石を眺めていたら、以前から言われている海洋の酸性化のことを考えてしまった。最近は学校で教え始めているところもあるようだけ…

またまた同じ方面を散歩した。大山ばかり撮っているので、丹沢山の方を撮った。ツキガイモドキ (ルシノマ) 属の一種と思われる化石を前回に引き続き、合弁の状態で見つけた。陸から海底に有機物が堆積すると、その堆積した有機物の分解の過程で酸素が速やか…

性懲りもなくまた同じ場所へ散歩へ行った。「無人駅」「ホームはひとつだけ」「前に人家がある」その他もろもろが気に入って、JR相模線の下溝駅を使って移動することが一番多い。三度目になると、だんだん色々なことがわかってきて、化石採集の方も、殻付き…

中津層群周辺の散歩が面白かったので、新年早々また出かけた。相模野台地が相模川の河岸段丘ということは知っていたが、段丘崖をじっくり見たことがなかったので、前回の散歩以上に面白かった。見たのは相模川の現在の河床 (氾濫原) と下段の陽原(みなばら)…

『ユキの太陽』が宮崎駿の処女作だということとはあまり関係ないし、漫画を特別好きという訳でもないのだが、ちばてつやの少女漫画にだけはなぜか執着があるらしく、つい最近も気がついてみると『島っ子』『みそっかす』『アリンコの歌』『リナ』『ユキの太…

天気が良いので、いつもより遠出して相模川の上流、中津層群が露頭に見られる方まで出かけた。中津層群の地質年代は、新生代第三紀の終わり (後期鮮新世) から、第四紀の初め (前期更新世) の、約 350 万年から 200 万年前で、河川ではなく海で堆積した地層…

年度の問題である. ときどきというか, しばしばというか, 入試問題の過去問集に掲載されている解答になぜこんな不思議な解き方をするのだろうと思うことがある (人のことは言えないが).【問】 【解】 問題集の解答では を延長して求めているのだが, なぜ比を…

理系の問題である. いままでの知識で解ける問題だから詳しくは書かない. ところで, 大正九年に初版が出されて, 百数十版を重ねたという『わかる幾何学』の改訂版を遅まきながら入手した. 改訂版なので当時の趣きがどれほど残っているのか定かではないが, 「…

年の問題. これは中学生で解けるなあ. 大学入試問題だから三角関数を使ってみよう (中学生はピタゴラスの定理を使えばよく, 手間はそれほど変わらない).【解】 から に垂線を下ろし, 足を とする. は (直角) 二等辺三角形なので, は の中点である. は と垂直…

年の文理共通問題. 正確な記憶は残っていないので間違えているかもしれないが, 問題を見ていてると, 清宮俊雄先生がある雑誌に書かれていたことを思い出した. いつ頃のことなのかは覚えていないが, 清宮先生が中学校の数学の教科書の校閲を依頼されて内容を…

高校入試問題に戻って, 年度の国立高校入試問題の一部だけやってみた.立方体の 辺の長さは cm である.【解】当たり前といえば当たり前なのだが, 「直線と平面が平行である」についてもっとも基本的なことを確認しておく. 直線と平面が平行であることの定義は…

宮澤賢治も詩の中で使っている「ゴーシュ四辺形」とはすべての辺が同一平面上にない四辺形のことである. 下の図で四辺形 はゴーシュ四辺形で, 四辺形の対角線 で分けられる と は同一平面にはない. いま, ゴーシュ四辺形の向かいあった辺 , の中点をそれぞれ…

年の文理共通問題. どういう誘導なのかよくわからないまま解いてしまった. の条件があると はもっと簡単に解けるということなのだろうか. を証明するために無駄な条件がある気がする. ただ, 中学の数学で出てくる「平行四辺形の対角線の交点を通る任意の直線…

年の京大入試問題は, 文系と理系で出題内容が少し違っていることに気がつく. 最初の方が文系の問で, こちらは「重心」, 次は理系でこちらは「外心」である. どちらも同じようなものであり, まとめて考える. 【解】 四面体の各頂点から対面に下ろした 本の垂…

年の京大入試問題 (文理共通) に次のような問題がある.この問題はただ解くだけだとつまらない. 『バン () の定理』と呼ばれ「四面体のすべての面の面積が等しくなるのは等面四面体に限る」という内容の典雅な定理がある. もし, この定理を認めるならば京大の…

年の文理共通問題. まず, 直前の記事を確認して欲しい.【問】 【解】 この問題の場合が簡単なのは, の外心 に立てた垂線上に があり, の外心 に立てた垂線上に があることである. なぜなら だからである. と が相似であることを利用して を求めることにする.…

次のことを幾何学的に証明しておこう. 球面は, 中心の位置と半径が与えられていれば描けるのだった. 同一平面上にない 点を通る球面をただ一つ作ることができる. ※ 年の京都大学の入試問題 (理系) にまったく同じ内容の問題が出題されている.//【証明】同一…

年理系の問題だが, これも以前にやった証明をちょっと変えるだけである.【問】 【解】 四面体 の重心を とし, , の重心をそれぞれ , とする. また, の中点を とする. と が相似であることから, と は平行で, である. したがって, と も相似であり, である.下…

面角についての定理を つ前の記事で紹介した. 与えられた つの平面角が つの 面角を作るための必要条件については, 以前の旧制中学の学習雑誌の記事に証明が書いてあるが, ここでは十分条件であることの証明をあげておきたい. 高校数学でしばしば役にたたな…

年理科後期. これは, 前問までに分かったことを使えばあっという間に解ける.【解】 (1) 前の記事の図を下にそのまま流用させてもらって, , , とし, 直方体の辺の長さを , , とすれば, 問の の長さは の長さに他ならない. から,したがって,※ は鋭角三角形なの…

京都大学の有名な入試問題に, を鋭角三角形とする。このとき、各面すべてが に合同な四面体が存在することを証明せよ。 というのがある. という訳でもないが, 前の記事の問題は, 等面四面体の問題だったので, その図を使って直方体へ四面体を埋め込んだ図を…

年理科の入試問題から. いままでの延長で解ける. ところで, 秋山武太郞先生の本を読むとコンパスのことが「兩脚器」と書いてあった.【問】 【解】 (1) 展開図を書くと の つの辺 (, , ) の中点を結んだものが になっている. 垂線の足 は, 前の記事でやったよ…

高校数学 (数 ) の参考書にあった問題.【問】 , , , である四面体 において, 頂点 から平面 に下ろした垂線 の長さを求めよ.【解】これも展開部分図を書いて垂線の足 がどこにあるか, 作図するのが早いだろう. 展開図の状態で, 四面体の頂点に相当する , か…

年京都大学理系甲の問題である. 空間ベクトルで解くのが普通だろうが, (馬鹿らしいので) 敢えて使わずに高校入試問題的に解いてみる. ※ 中学の段階では「ねじれ」の位置にある 直線 (交わらずかつ平行でもない 直線) の成す角のことをちゃんと教えないが, こ…